Question

已知函数f（x）=

x(1-ax)，x＜0 x(1+ax)，x≥0

，其中a＜0，若对?x∈[-1，1]，f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的定义先判断函数f（x）是奇函数，然后根据条件判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x（1+ax）=-f（x），
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x（1-ax）=-f（x），
x=0时，f（0）=0，
综上恒有f（-x）=-f（x），即函数是奇函数，
若对?x∈[-1，1]，f（x+a）＜f（x），
∵a＜0，∴x+a＜x，
即此时函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
当x＜0时，f（x）的对称轴为x=

a

2

，此时函数在[

a

2

，0）上单调递增，
当x≥0时，f（x）的对称轴为x=-

a

2

，此时函数在[0，-

a

2

）上单调递增，
则函数的单调递增区间为[

a

2

，

a

2

]，则等价为

a 2 ≤-1 - a 2 ≥1

，即a≤-2，
故答案为：a≤-2．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合性较强，有一定的难度．