Question

已知f（x）=4^x-m•2^x+1，g（x）=

2x-1

2x+1

，若存在实数a，b同时满足方程g（a）+g（b）=0和f（a）+f（b）=0，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：先求出g（a）+g（b）=0满足的条件，然后利用指数函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：若g（a）+g（b）=0，则

2a-1

2a+1

+

2b-1

2b+1

=

(2a-1)(2b+1)+(2a+1)(2b-1)

(2a+1)(2b+1)

=0，
整理得2^a+b+1=2，即a+b+1=1，
则a+b=0，即b=-a，
∴f（a）+f（b）=0等价为f（a）+f（-a）=0有解，
即4^a-m•2^a+1+4^-a-m•2^-a+1=0，
则m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

，
∵

4a+4-a

2a+1+2-a+1

=

22a+2-2a

2(2a+2-a)

=

(2a+2-a)2-2

2(2a+2-a)

=

22a+2-2a

2(2a+2-a)

=

2a+2-a

2

-

1

2a+2-a

，
设t=2^a+2^-a，则t≥2，
则

2a+2-a

2

-

1

2a+2-a

=

1

2

t-

1

t

，在t≥2时，单调递增，
即m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

≥

1

2

×2-

1

2

=

1

2

，
∴要使m=

4a+4-a

2a+1+2-a+1

有解，则m≥

1

2

，
故答案为：[

1

2

，+∞）

点评：本题主要考查与指数函数有关的综合问题，根据条件求出a+b=0是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．