Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案．

解答 解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
设AB的中点为E，根据题目条件可知△PAE≌△CBE，
∴PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
故动点M的轨迹肯定过点D和点E，
而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，
线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，∴M的轨迹为线段DE．
∵AD=2，AE=1，∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，是中档题．