Question

12．已知函数$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一条对称轴方程为$x=\frac{π}{6}$，则实数a=$\sqrt{3}$；函数f（x）的最大值为1．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式和二倍角基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，即可求实数a以及f（x）的取值最小值．

解答 解：函数$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+θ），tanθ=$\frac{1}{a}$．
函数的对称轴方程为2x+θ=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）
对称轴方程为$x=\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{3}+θ$=$\frac{π}{2}$+kπ，
可得θ=$\frac{π}{6}$+kπ，
∵tanθ=$\frac{1}{a}$．
∴$\frac{1}{a}$=tan（$\frac{π}{6}+kπ$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故a=$\sqrt{3}$
当2x+θ=$\frac{π}{2}+2kπ$时，函数f（x）取得最大值为1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题