Question

1．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F为EB的中点．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点G，连结FG，GC，由三角形中位线定理可得FG∥AE，$FG=\frac{1}{2}AE$，结合已知DC∥AE，$DC=\frac{1}{2}AE$，可得四边形DCGF为平行四边形，得到FD∥GC，由线面平行的判定可得FD∥平面ABC；
（2）由线面垂直的性质可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC为等边三角形，得CG⊥AB，结合线面垂直的判定可得CG⊥平面EAB，再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．

解答 （1）证明：取AB的中点G，连结FG，GC，
∵在△EAB中，FG∥AE，$FG=\frac{1}{2}AE$，
∵DC∥AE，$DC=\frac{1}{2}AE$，∴DC∥FG，FG=DC，
∴四边形DCGF为平行四边形，则FD∥GC，
又∵FD?平面ABC，GC?平面ABC，∴FD∥平面ABC；
（2）证明：∵EA⊥面ABC，CG?平面ABC，∴EA⊥GC，
∵△ABC为等边三角形，∴CG⊥AB，
又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，
∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB，
又∵FD?面BDE，∴面BDE⊥面EAB．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了面面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．