Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c且a²-（b-c）²=（2-

3

）bc，B=

π

6

，BC边上中线AM的长为

7

．
（Ⅰ）求角A和角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由所给的等式利用余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值，再根据B=

π

6

，利用三角形内角和公式求得C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ABC为等腰三角形，a=b，△ACM中，由BC边上中线AM的长为

7

，利用余弦定理求得b=2，可得△ABC的面积为

1

2

ab•sinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，由a²-（b-c）²=（2-

3

）bc，可得b²+c²-a²=

3

bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，∴A=

π

6

．
又B=

π

6

，∴C=

2π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ABC为等腰三角形，a=b，△ACM中，由余弦定理可得AM²=7=b²+(

b

2

)2-2b•

b

2

•cosC=b²+(

b

2

)2-2b•

b

2

•（-

1

2

），
求得b=2，可得△ABC的面积为

1

2

ab•sinC=

1

2

b²•sin

2π

3

=

3

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，三角形内角和公式，属于基础题．