Question

已知函数f（x）=

x-a

(x-1)2

（x∈（1，+∞））
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性及单调区间,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调递增区间；（2）通过讨论a的范围，得出函数的单调区间，从而求出函数的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-1)(-x+2a-1)

(x-1)4

，
当2a-1＞1，即a＞1时，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2a-1，故f（x）在（1，2a-1）递增，
当2a-1≤1，即a≤1时，令f′（x）＞0，不等式无解，故f（x）无单调递增区间；
（2）①当2a-1≥2时，即a≥

3

2

时，列表如下：

x	[2，2a-1）	（2a-1，+∞）
f′（x）	+	-
f（x）	递增	递减

∴f（x）_max=f（2a-1）=

1

4(a-1)

，
②当1＜2a-1＜2，即1＜a＜

3

2

时，在区间[2，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在[2，+∞）上递减，∴f（x）在区间[2，+∞）的最大值为f（2）=2-a，
③当2a-1≤1，即a≤1时，在区间[2，+∞）上，f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[2，+∞）递减，∴f（x）在区间[2，+∞）的最大值为f（2）=2-a，
综上：f（x）在区间[2，+∞）的最大值f（x）_max=

1 4(a-1) ，a≥ 3 2 2-a，a＜ 3 2

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道中档题．