Question

已知在△A BC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=2，sinA-cos（A-

π

6

）=cos（B-C+

π

6

）．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=

1

3

，求边b的长．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用两角和差的余弦和正弦公式，结合内角和定理，化简即可得到角C；
（Ⅱ）运用正弦定理判断角A为锐角，再由两角和的正弦公式求得sinB，由正弦定理计算即可得到b．

解答： 解：（Ⅰ）sinA-cos（A-

π

6

）=cos（B-C+

π

6

），
即为sinA-（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=cos（B-C+

π

6

），

1

2

sinA-

3

2

cosA=cos（B-C+

π

6

），
sin（A-

π

3

）=cos（B-C+

π

6

），
cos（

5π

6

-A）=cos（B-C+

π

6

），
由于A，B，C为三角形的内角，则
B-C+

π

6

=

5π

6

-A或B-C+

π

6

=-（

5π

6

-A），
即A+B-C=

2π

3

或B-C-A+π=0，
即C=

π

6

或B=0（舍去），
则有C=

π

6

；
（Ⅱ）由于sinA=

1

3

，sinC=

1

2

，
由正弦定理可得sinA＜sinC即为a＜c，
即A＜C，A为锐角，
cosA=

1- 1 9

=

2 2

3

，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

3 +2 2

6

，
由正弦定理可得，b=

csinB

sinC

=

2× 3 +2 2 6

1 2

=

2 3 +4 2

3

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查两角和差的正弦公式和余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．