题目内容

2．某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是$\sqrt{3}$．

分析 先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2015段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2014段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可

解答 解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，

同理，黄“电子狗”爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，也是过6段后又回到起点．
所以黑“电子狗”爬完2015段后实质是到达点B，
黄“电子狗”爬完2014段后到达第三段的终点D1．
此时的距离为|BD1|=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

练习册系列答案
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