Question

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．试求b的大小及△ABC的面积S．

Answer 1

分析 由诱导公式可得sinA和sinB，进而由正弦定理可得b值，再由和差角公式可得sinC，代入面积公式计算可得．

解答 解：∵cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又B=A+$\frac{π}{2}$，∴sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）=cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$3\sqrt{2}$，
∵cosB=cos（A+$\frac{π}{2}$）=-sinA=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{1}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数公式，属基础题．