Question

【题目】在平行四边形中，过点C的直线与线段、分别相交于点M、N，若，；

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）定义函数（），点列（，）在函数的图像上，且数列是以1为首项，0.5为公比的等比数列，O为原点，令，是否存在点，使得？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由；

（3）设函数为上的偶函数，当时，，又函数的图像关于直线对称，当方程在（）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）；

【解析】

（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得与的关系；

（2）由题意求出解析式，写出向量，利用向量列方程求出的值；

（3）利用对称性和函数的奇偶性求出函数的解析式，根据方程在，上有两个不同的实数解时，转化为两个函数在同一坐标系下有两个交点，从而求出实数的取值范围．

（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：

，

又由，；

，解得，

关于的函数解析式；

（2）当，时，，

，，又，，

，，；

又，且，则，

，

，，

故存在满足条件；

（3）当，时，，又由条件得，

．

当，时，，，

，，

从而；

由得．

设，，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，

当函数图象经过点时，．

由图象可知，当，时，与的图象在，有两个不同交点，因此方程在，上有两个不同的解；

实数的取值范围是．