Question

【题目】双曲线C：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，B为虚轴的上顶点，若直线上存在两点使得，且过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

直线上存在两点使得等价于以线段为直径的圆与直线相交，求出圆与直线的方程，利用直线与圆相交列不等式求离心率的范围，又由过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，可得，进一步求离心率的范围，综合可得结果.

解：直线上存在两点使得等价于以线段为直径的圆与直线相交，

由已知， ，即，

，

即，

即，

即，解得，

又过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，

则，，解得，

综上双曲线离心率的范围是，

故选：D.