Question

18．已知：∠BAC=42°，∠CAD=30°，∠BDA=72°，∠BDC=12°，求∠CBD=？（需详细解题过程）

Answer 1

分析 作DE⊥AC于E，CF⊥BD于F，设DE=x，则AD=2x，且∠CDE=24°，求出BD=2x•2cos36°，
CD=$\frac{x}{cos24°}$，CF=$\frac{sin12°}{cos24°}•x$，BF=$\frac{cos12°}{cos24°}$•x，从而BF=BD-DF=4xcos36°-$\frac{cos12°}{cos24°}$x，
由此求出tan∠CBD=tan6°，由此能求出∠CBD．

解答 解：作DE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
设DE=x，则AD=2x，且∠CDE=24°，
∴BD=AD•$\frac{sin72°}{sin30°}$=2x•2cos36°，
CD=$\frac{DE}{cos24°}$=$\frac{x}{cos24°}$，
∴CF=CD•sin12°=$\frac{sin12°}{cos24°}•x$，
BF=CD•cos12°=$\frac{cos12°}{cos24°}$•x，
∴BF=BD-DF=4xcos36°-$\frac{cos12°}{cos24°}$x，
∴tan$∠CBD=\frac{CF}{BF}$
=$\frac{\frac{sin12°}{cos24°}•x}{4xcos30°-\frac{cos12°}{cos24°}•x}$
=$\frac{sin12°}{2（cos60°+cos12°）-cos12°}$
=$\frac{sin12°}{1+cos12°}$=$\frac{2sin6°cos6°}{2co{s}^{2}6°}$=tan6°，
∴∠CBD=6°．

点评 本题考角的求法，考查正弦定理、三角函数、正切加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．