Question

6．已知四边形ABCD为平行四边形，A（0，3），B（4，1），D为边AB的垂直平分线与x轴的交点．
（Ⅰ）求点C的坐标
（Ⅱ）一条光线从点D射出，经直线AB反射，反射光线经过CD的中点E，求反射光线所在直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出D的坐标，根据平行四边形的性质求出D，从而求出C的坐标即可；
（Ⅱ）求出D的对称点D′以及E的坐标，求出直线方程即可．

解答 解：（Ⅰ）设D（x，0），由题意可得DA=DB，
故有x²+3²=（x-4）²+1²，∴x=1，即D（1，0）．
设C（a，b），由题意四边形ABCD为平行四边形，
可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，即（ 1，-3）=（ a-4，b-1）
解得a=5，b=-2，
∴点C的坐标（5，-2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）直线AB的方程是：y=-$\frac{1}{2}$x+3，即：x+2y-6=0，E（3，-1）
设点D（1，0）关于直线AB：x+2y-6=0的对称点为D′（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}+2•\frac{n}{2}-6=0}\\{\frac{n}{m-1}=2}\end{array}\right.$，解得：D′（3，4），
∴反射光线即为经过点E（3，-1）和D′（3，4）的直线，
∴反射光线的方程是x=3．

点评 本题考查平行四边形的性质，考查直线的一般式方程和对称性，属基础题．