Question

（15分）点是抛物线上的不同两点，过分别作抛物线的切线，两条切线交于点。
（1）求证：是与的等差中项；
（2）若直线过定点，求证：原点是的垂心；
（3）在（2）的条件下，求的重心的轨迹方程。

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）证明见解析。
（3）

（1）对　求导　　得，
所以直线，即
同理, 直线，解得
所以是与的等差中项；                     （5分）
（2）设直线，代入 整理得．
，得  
   即；
，     ，
，     同理，
所以原点是的垂心；（10分，只需证明两个垂直就得满分）
（3）设的重心，则
，

因为，所以点的轨迹方程为．              （15分）