Question

8．己知函数f（x）=|x-2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；
（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为解不等式|x-2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a²可化为a²-a＜|x-2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x-2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x-2|＜|x+4|，
两边平方得：x²-4x+4＜x²+8x+16，解得：x＞-1，
∴原不等式的解集是（-1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a²可化为a²-a＜|x-2|+|x+4|，
又|x-2|+|x+4|≥|（x-2）-（x+4）|=6，
∴a²-a＜6，解得：-2＜a＜3，
∴a的范围是（-2，3）．

点评 本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．