Question

9．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx-1．
（1）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A为锐角，a=3$\sqrt{3}$，c=6，f（A）是函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}sinx+cosx-1=2sin（x+\frac{π}{6}）-1$，由$sin（x+\frac{π}{6}）≥\frac{1}{2}$，根据正弦函数的图象和性质即可解得满足条件的x的取值集合．
（2）由已知可求$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，利用正弦函数的图象和性质可求A，利用余弦定理可求b，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx+cosx-1$，（2分）
=$\sqrt{3}sinx+cosx-1=2sin（x+\frac{π}{6}）-1$，（4分）
由f （x）≥0得：$sin（x+\frac{π}{6}）≥\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，即$2kπ≤x≤2kπ+\frac{2π}{3}$，
故满足条件的x的取值集合是$\{x|2kπ≤x≤2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z\}$．（6分）
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得：$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$
又∵A为锐角，∴当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{3}$时，函数f （x）取最大值，（8分）
由余弦定理得：$27={b^2}+36-12bcos\frac{π}{3}⇒{b^2}-6b+9=0$，
∴b=3，（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×3×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．