Question

1．某校高一学生1000人，每周一同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加．要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m（400＜m＜600），其余的人听“美术鉴赏”课，从第二次起，学生可从两个课中自由选择，据以往经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a_n，b_n分别表示在第n次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．
（1）若m=500，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数a₂，a₃；
（2）证明数列{a_n-600}是等比数列，并用n表示a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知a_n+b_n=1000，根据凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，即可得出结论；
（2）由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，a_n+b_n=1000，即可证明数列{a_n-600}是等比数列，并用n表示a_n．

解答 （1）解：由已知a_n+b_n=1000，
又a₁=500，∴b₁=500，…（1分）
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，…（2分）
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．…（4分）
（2）证明：①由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，…（5分）
∴a_n+1-600=$\frac{1}{2}$（a_n-600），…（6分）
∵m∈（400，600），∴a₁-600≠0，
∴数列{a_n-600}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为m-600…（10分）
∴a_n-600=（m-600）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=600+（m-600）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．…（8分）

点评 本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项．