Question

5．已知命题p：函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x²+x＞2+ax，对?x∈（-∞，-1）上恒成立．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，则△＜0且a＞0，解得实数a的取值范围；
（2）若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意：当a=0时，f（x）=lg（-4x）的定义域不为R，不合题意．
当a≠0时，△＜0且a＞0，故a＞2．
（2）若q为真，则$a＞2x-\frac{2}{x}+1$，对?x∈（-∞，-1）上恒成立，
$y=2x-\frac{2}{x}+1$为增函数且x∈（-∞，-1），
故a≥1．
“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
等价于p，q一真一假，
若p真q假，则不存在满足条件 a值；
若p假q真，则1≤a≤2，
故1≤a≤2．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，不等式恒成立，复合命题，难度中档．