Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

5

）=

1

2

f（x），且0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由抽象函数的性质可得f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

5

）=

1

2

；故可推测其为分段常数函数，从而由题意化简可得．

解答： 解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（1）=1；
又∵f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

55

）=

1

2

f（

1

54

）=

1

22

f（

1

53

）=…=

1

25

f（1）=

1

32

；
f（

1

2×54

）=

1

2

f（

1

2

•

1

53

）=…=

1

24

f（

1

2

）=

1

32

；
又∵0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴当x∈[

1

55

，

1

2×54

]时，f（x）=

1

32

；
又∵

1

2015

∈[

1

55

，

1

2×54

]，
∴f（

1

2015

）=

1

32

；
故答案为：

1

32

．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了抽象函数的应用，属于中档题．