在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$..以原点O为极点.x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin=4$\sqrt{2}$．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程,(Ⅱ)设P为曲线C1上的动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值．

分析（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为
ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开利用互化公式即可得出．
（II）设P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，点P到C₂上点的距离的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），利用平方关系可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，
化为直角坐标方程：x+y-8=0．
（II）设P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
点P到C₂上点的距离的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$
≥$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，当且仅当$sin（α+\frac{π}{3}）$=1时取等号．
∴点P到C₂上点的距离的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．