Question

一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k：1（k＞1），则这个菱形的一个小于

π

2

的内角等于

 

．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明

专题：直线与圆

分析：先做出图象，然后作辅助线将所求内角，内切圆直径转化到同一直角三角形中，求解即可．

解答： 解；由题意作菱形ABCD及其内切圆，则∠BAD为所求小于

π

2

的内角，设为θ，（0＜θ＜

π

2

），
又由题意知菱形边长与其内切圆的直径之比为k：1（k＞1），不妨设菱形边长为k，内切圆直径为1，
过A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，则AE长等于平行线AD与BC的距离，而在菱形ABCD中，内切圆直径长也等于平行线AD与BC的距离，则AE长等于内切圆直径长，AE=1，
∵∠ABE为△ABC一外角，∴∠ABE=∠BAC+∠BCA=∠BAD=θ，
在Rt△AEB中，AE=1，AB=k，
sinθ=

1

k

，
cosθ=

1-( 1 k )2

=

k2-1 k2

，
tanθ=

1 k2-1

，
θ=arctan

1 k2-1

．

点评：做出图形，利用数形结合将条件直观显示出来，有助于我们解题．