Question

已知函数f（x）=log₃（x²+ax+a+5）
（1）当a=-3时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（-∞，1）上是递减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-3时，令对数的真数x²+3x+8＞0，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）由题意可得，函数t=x²+ax+a+5在区间（-∞，1）上是递减函数且真数t＞0，可得-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=-3时，f（x）=log₃（x²-3x+2），令对数的真数x²+3x+8=（x-1）（x-2）＞0，
求得x＜1，或x＞2，故函数的定义域为（-∞，1）∪（2，+∞）．
（2）∵f（x）在区间（-∞，1）上是递减函数，∴函数t=x²+ax+a+5在区间（-∞，1）上是递减函数且真数t＞0，
∴-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，求得-3≤a≤-2．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．