Question

设函数f（x）=1nx-

1

4

x²-

1

2

x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若g（x）=x（f（x）+

1

4

x²+1）当x＞1时，g（x）在区间（n，n+1）内存在极值，求整数n的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导数，令f′（x）=0，求出x，注意舍去负的，根据x，f'（x），f（x）的变化情况列表，得到单调区间和极值；
（Ⅱ）化简g（x），并求导数g′（x），令h（x）=lnx-x+2，并求导数h′（x），判断函数h（x）的单调性，由零点存在定理得，h（x）在区间（3，4）上有零点x₀，从而求出整数n的值．

解答： （Ⅰ）f′(x)=

1

x

-

1

2

x -

1

2

=

-x2-x+2

2x

，(x＞0)
令f'（x）=0，解得x=1（-2舍去），
根据x，f'（x），f（x）的变化情况列出表格：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	_
f（x）	递增	极大值- 3 4	递减

由上表可知函数的单调增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞），
在x=1处取得极大值-

3

4

，无极小值；
（Ⅱ）g(x)=x(f(x)+

1

4

x2+1)=xlnx-

1

2

x2+x
g'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2，
令h（x）=lnx-x+2，∴h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∵x＞1，∴h'（x）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）为单调递减函数，
∵h（1）=1＞0，h（2）=ln2＞0，h（3）=ln3-1＞0，h（4）=ln4-2＜0．
∴h（x）在区间（3，4）上有零点x₀，
且函数g（x）在区间（3，x₀）和（x₀，4）上单调性相反，
∴当n=3时g（x）在区间（n，n+1）内存在极值．∴n=3．

点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的单调区间和求极值，同时考查构造函数应用单调性解题，考查零点存在定理的运用，是一道综合题．