Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2

3

，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-D大小为

π

4

，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵CD²=BC²+BD²．∴BC⊥BD．
又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．
又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．
而BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，
所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=

π

4

．
而BD=2

3

，所以PD=2

3

．
∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C(-2，2

3

，0)，P(0，0，2

3

)，
所以，

AP

=(-2，0，2

3

)，

BC

=(-2，0，0)，

BP

=(0，-2

3

，2

3

)，
设平面PBC的法向量为

n

=(a，b，c)，
则

n • BC =0 n • BP =0

即

-2a=0 -2 3 b+2 3 c=0.

令b=1则

n

=(0 ， 1  ，1)，
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：
sinθ=

| AP • n |

| AP || n |

=

2 3

4× 2

=

6

4

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．