Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且点O在以AB为直径的圆的外部（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．设P（x，y），（x＞0，y＞0），则

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=-

5

4

，联立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，能求出P（1，

3

2

）．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点，
∴a=2，b=1，c=

3

．
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．设P（x，y），（x＞0，y＞0）．
则

PF1

•

PF2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x2+y2-3=-

5

4

，
又

x2

4

+y2=1，
联立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，
解得

x2=1 y2= 3 2

，∴x=1，y=

3

2

，∴P（1，

3

2

）．…（5分）
（Ⅱ）由题意知x=0不满足题设条件．
∴设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，得x²+4（kx+2）²=4，
整理，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∴x1x2=

12

1+4k2

，x1+x2=-

16k

1+4k2

，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞0，
16k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

3

4

．①
又∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，∴

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x1 x2+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

2k•16k

1+4k2

+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴-

1

4

＜k2＜4．②
综①②可知

3

4

＜k2＜4，
∴k的取值范围是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）．…（13分）

点评：本题考查点的坐标的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．