Question

如图所示，在Rt△ABC中，已知A（-2，0），直角顶点B（0，-2

2

），点C在x轴上．
（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；
（Ⅱ）求过点（-4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，K_BA•K_BC=-1，求得a的值，可得所求的圆的圆心、半径，可得要求圆的方程．
（Ⅱ）设要求直线的方程为y=k（x+4），根据圆心到直线的距离等于半径，即d=

|5k|

k2+1

=3，求得k的值，可得要求的直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，可得 K_BA•K_BC=

-2 2

2

•

2 2

a

=-1，∴a=4，
故所求的圆的圆心为AC的中点（1，0）、半径为

1

2

AC=3，
故要求Rt△ABC外接圆的方程为（x-1）²+y²=9．
（Ⅱ）由题意可得，要求的直线的斜率一定存在，设要求直线的方程为y=k（x+4），
即 kx-y+4k=0，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
故有 d=

|5k|

k2+1

=3，求得k=±

3

4

，
故要求的直线的方程为 3x-4y+12=0，或 3x+4y+12=0．

点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，求圆的标准方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．