题目内容
已知数列{an}满足a1=2，an-+1=2（1+
）2an
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A、B、C，使对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由．
（3）求：
an．
| 1 |
| n |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A、B、C，使对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由．
（3）求：
| ||
| n=1 |
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到数列{
}是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；
（2）求出bn+1-bn，由对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立比较系数求得A，B，C的值；
（3）直接利用an=bn+1-bn裂项相消求得
an．
| an |
| n2 |
（2）求出bn+1-bn，由对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立比较系数求得A，B，C的值；
（3）直接利用an=bn+1-bn裂项相消求得
| ||
| n=1 |
解答：
解：（1）由an-+1=2（1+
）2an=
an，得
=2
，
∴数列{
}是公比为2的等比数列．
首项a1=2，
∴
=2n，即an=2n•n2；
（2）∵bn=（An2+Bn+C）•2n，
∴bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n，
由对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立，得
，解得A=1，B=-4，C=6；
（3）
an=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）
=bn+1-b1=(n2-2n+3)•2n+1-6．
| 1 |
| n |
| 2(n+1)2 |
| n2 |
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
∴数列{
| an |
| n2 |
首项a1=2，
∴
| an |
| n2 |
（2）∵bn=（An2+Bn+C）•2n，
∴bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n，
由对于一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立，得
|
（3）
| ||
| n=1 |
=bn+1-b1=(n2-2n+3)•2n+1-6．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了比较系数法求函数解析式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．
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| A、{x|-3＜x＜-1} |
| B、{x|-1＜x＜1或1＜x＜3} |
| C、{x|-3＜x＜0或1＜x＜3} |
| D、{x|-3＜x＜1或x＞2} |