Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=4，AB=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若F为PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥CD，AD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（2）以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-AB-P的余弦值．

解答 （本小题12分）
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥AB，AB∥DC，∴AD⊥DC，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
解：（2）由已知以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
得P（0，0，4），B（2，0，0），C（4，4，0）…（6分）
∵F为PC上一点，∴设$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PC}$，∵BF⊥AC，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}$=0，①
$\overrightarrow{PC}$=（4，4，4），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-4），
代入（1）得$λ=\frac{1}{4}$．…（8分）
∴$\overrightarrow{PF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}$=（1，1，3），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-3，1），
平面ABP的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
∴二面角F-AB-P的余弦值为-$\frac{3}{10}\sqrt{10}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．