Question

2．过双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C₁于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出NF′的长度及判断出NF′垂直于NF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图，记右焦点为F′，
则O为FF′的中点，
∵M为NF的中点，
∴OM为△FF′N的中位线，
∴NF′=2OM=2a，
∵M为切点，
∴OM⊥NF，
∴NF′⊥NF，
∵点N在双曲线上，
∴NF-NF′=2a，
∴NF=NF′+2a=4a，
在Rt△NFF′中，有：NF²+NF′²=FF′²，
∴16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．