Question

6．△ABC中，∠A，∠B，∠C，所对应的边分别为a，b，c，满足∠A，∠B，∠C，成等差数列，且S_△ABC=$\sqrt{3}$
（1）若b=2，求a+c的值；
（2）若a，b，c三边长度成等比数列，判断△ABC形状．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质，三角形内角和定理可得B的值，利用三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理可得a²+c²=8，进而可求a+c的值．
（2）由（1）可求ac=4，利用等比数列的性质可求b，结合余弦定理可求a，c的值，即可得解．

解答 解：（1）由∠A，∠B，∠C，成等差数列得：2B=A+C，因为A+B+C=π，所以$B=\frac{π}{3}$，…（1分）
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac=\sqrt{3}$，
∴解得：ac=4，…（2分）
又由余弦定理得：4=a²+c²-ac，即a²+c²=8，…（3分）
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=16，故a+c=4．…（5分）
（2）由（1）知：ac=4，①
∵a，b，c三边长度成等比数列，
∴b²=ac=4，即b=2．…（7分）
∴4=a²+c²-ac，②，
由①②解得a=c=2，
∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．…（9分）

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，等比数列的性质在解三角形中的综合应用，考查了配方法和转化思想，属于中档题．