题目内容
已知四个数成等差数列，顺次加上1，1，3，9后成等比数列，则这四个数的和为 ．
考点：等差数列的通项公式
专题：等差数列与等比数列
分析：设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d，由题意知a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列，令t=a+1，则t，t+d，t+2+2d，t+8+3d成等比数列，则
=
=
=
，由此能求出四个数的和．
| t+d |
| t |
| t+2+2d |
| t+d |
| t+8+3d |
| t+2+2d |
| 3t+10+6d |
| 3t+2+3d |
解答：
解：设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d，
由题意知a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列，
令t=a+1，则t，t+d，t+2+2d，t+8+3d成等比数列，
∴
=
=
=
，
整理，得3t2+10t+6td=3t2+2t+3td+3td+2d+3d2，
解得2t=d2，
∴2d+3d2=4d2，解得d=0或d=2，
d=0，t=0，不合题意，舍去，
∴d=2，t=2，a=t-1=1，
∴四个数为1，3，5，7，
∴四个数的和=4a+6d=16．
故答案为：16．
由题意知a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列，
令t=a+1，则t，t+d，t+2+2d，t+8+3d成等比数列，
∴
| t+d |
| t |
| t+2+2d |
| t+d |
| t+8+3d |
| t+2+2d |
| 3t+10+6d |
| 3t+2+3d |
整理，得3t2+10t+6td=3t2+2t+3td+3td+2d+3d2，
解得2t=d2，
∴2d+3d2=4d2，解得d=0或d=2，
d=0，t=0，不合题意，舍去，
∴d=2，t=2，a=t-1=1，
∴四个数为1，3，5，7，
∴四个数的和=4a+6d=16．
故答案为：16．
点评：本题考查数列中四项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
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