Question

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c=2，且（2+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）求△ABC周长l的最大值．

Answer 1

分析 （I）由c=2，且（2+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．由正弦定理可得：（c+b）（c-b）=a（a-b），化为：a²+b²-c²=ab．再利用余弦定理即可得出C．
（II）由（I）可得：A+B=$\frac{2π}{3}$．可得B=$\frac{2π}{3}$-A$（0＜A＜\frac{2π}{3}）$．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．可得a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB．可得a+b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+2=4sin$（A+\frac{π}{6}）$+2．即可得出．

解答 解：（I）由c=2，且（2+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．
由正弦定理可得：（c+b）（c-b）=a（a-b），化为：a²+b²-c²=ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由（I）可得：A+B=$\frac{2π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}$-A$（0＜A＜\frac{2π}{3}）$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB．
∴a+b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+2
=4sin$（A+\frac{π}{6}）$+2．
故当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，△ABC周长l的最大值为6．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角函数的单调性、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．