Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点F₂（c，0）垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点且|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，又过左焦点F₁（-c，0）任作直线l交椭圆于点M
（1）求椭圆C的方程
（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的通径公式及离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0），即可求得直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在；当直线l的斜率k=0时，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）△AOB面积s=x₀y₀，由均值不等式求解．

解答 解：（1）由题意可知椭圆的通径丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，①
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，②
由①②解得：a²=3，b²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：左焦点F₁（-1，0），
依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
则直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{k}$+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得，（2k²+3）x²-6kmx+3k²m²-6k²=0，
△=（6km）²-4×（2k²+3）（3k²m²-6k²）＞0，则m²k²-2k²-3＜0，
x₁+x₂=$\frac{6km}{2{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}{m}^{2}-6{k}^{2}}{2{k}^{2}+3}$，
设AB的中点为C（x_C，y_C），则x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3km}{2{k}^{2}+3}$，y_C=$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$．
点C在直线l上，∴$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$=k（$\frac{3km}{2{k}^{2}+3}$+1），则m=-2k-$\frac{3}{k}$，…②
此时m²-2-$\frac{3}{{k}^{2}}$=4k²+$\frac{6}{{k}^{2}}$+4＞0与①矛盾，故k≠0时不成立．
当直线l的斜率k=0时，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）
△AOB面积s=$\frac{1}{2}$×2y₀×x₀=x₀y₀．
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1≥2$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}}{3}×\frac{{y}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x₀y₀，∴x₀y₀≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴△AOB面积的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，当且仅当$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$时取等号．
△AOB面积的最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想及运算能力，属于中档题．