已知点P在椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上.以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2.且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{O{F} {2}}$=2.tan∠OPF2=$\sqrt{2}$.其中O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程,.设Q是椭圆C上的一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知点P在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F₂，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2，tan∠OPF₂=$\sqrt{2}$，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若$\overrightarrow{NQ}$=2$\overrightarrow{QM}$，求直线l的方程；
（3）作直线l₁与椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（-2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足$\overrightarrow{GS}$•$\overrightarrow{GT}$=4，求实数t的值．

分析（1）由题意根据向量数量积坐标运算，即可求得c的值及P点坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；
（2）设直线方程，根据向量数列的坐标运算，即可求得k的值；
（3）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得线段ST的中点坐标，分类讨论，当k=0时，即可求得求得t的值，当k≠0时，根据向量的坐标运算，即可取得t的值．

解答解：（1）由题意知，在△OPF₂中，PF₂⊥OF₂，由tan∠OPF₂=$\sqrt{2}$，得：cos∠POF₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2，丨$\overrightarrow{OP}$丨•丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨cos∠POF₂=2，∴$\sqrt{{c}^{2}+{r}^{2}}$•c•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=2，
又，tan∠OPF₂=$\frac{c}{r}$=$\sqrt{2}$，解得：c=$\sqrt{2}$，r=1，
∴点P的坐标为（±$\sqrt{2}$，1），
∵点P在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
又a²-b²=c²=2，解得：a²=4，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，
则其方程为y=k（x+1），N（0，k），
设Q（x₁，y₁），∵$\overrightarrow{NQ}$=2$\overrightarrow{QM}$，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
∴x₁=-$\frac{2}{3}$，y₁=$\frac{k}{3}$，
又∵Q是椭圆C上的一点，∴$\frac{（-\frac{2}{3}）^{2}}{4}+\frac{（\frac{k}{3}）^{2}}{2}=1$，
解得k=±4，
∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．
（3）由题意知椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
由S（-2，0），设T（x₁，y₁），
根据题意可知直线l₁的斜率存在，
设直线斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x+2），
把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韦达定理得-2+x₁=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
则x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁=k（x₁+2）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
所以线段ST的中点坐标为（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
①当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，
∴$\overrightarrow{GS}$=（-2，-t），$\overrightarrow{GT}$=（2，-t），
由$\overrightarrow{GS}$•$\overrightarrow{GT}$=-4+t²=4，解得：t=±2$\sqrt{2}$．
②当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，
令x=0，得：t=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{GS}$=（-2，-t），$\overrightarrow{GT}$=（x₁，y₁-t），
由$\overrightarrow{GS}$•$\overrightarrow{GT}$=-2x₁-t（y₁-t）=$\frac{4（16{k}^{4}+15{k}^{2}-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，解得：k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
代入t=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，解得：t=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
综上，满足条件的实数t的值为t=±2$\sqrt{2}$或t=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．