Question

若函数f（x）=2cos²x+asinx-1在区间（

π

6

，

π

2

）是减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，求解导数，然后将问题转化为：f′（x）=-2sin2x+acosx≤0在区间（

π

6

，

π

2

）上恒成立问题，然后，分离参数求解其范围．

解答： 解：∵函数f（x）=2cos²x+asinx-1，
∴f′（x）=2sin2x+acosx
∴f′（x）=-2sin2x+acosx≤0在区间（

π

6

，

π

2

）上恒成立，
∴a≤

2sin2x

cosx

=4sinx，
∵x∈（

π

6

，

π

2

）
∴sinx∈（

1

2

，1），
∴4sinx∈（2，4），
∴a≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、导数的应用、函数的单调性与导数等知识，属于中档题，解题关键是注意恒成立问题的处理思路和方法．