Question

在直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，现给出四个命题：
①已知P（1，3），Q（sin²x，cos²x），x∈R，则d（P，Q）为定值；
②用|PQ|表示P，Q两点间的“直线距离”，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
③已知P为直线y=x+2上任一点，O为坐标原点，则d（P，Q）的最小值为

2

；
④已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q）
以上命题正确的是（　　）

• A、②③
• B、①④
• C、①②
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,进行简单的合情推理,两点间距离公式的应用

专题：新定义,简易逻辑

分析：先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答： 解：（1）若P（1，3），Q（sin²x，cos²x）（α∈R），
则d（P，Q）=|1-sin²x|+|3-cos²x|=cos²x+2+sin²x=3为定值，故①正确；
（2）|PQ|表示P，Q两点间的“直线距离”，那么|PQ|≤d（P，Q）≤

2

|PQ|，
即d（P，Q）≥|PQ|≥

2

2

d（P，Q），故②正确；
（3）已知P为直线y=x+2上任一点，O为坐标原点，则d（P，Q）的最小值为

2

；
设P（x，x+2），O（0，0），则d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|x+2|，表示数轴上的x到-2和0的距离之和，其最小值为2，故③不正确；
（4）∵P，Q，R三点不共线，则d（Q，R）＞0，故d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q），故④正确；
故选：D．

点评：本题主要考查了“直角距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．