Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1），且f（-2）=

1

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]若此函数在[0，2]上存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若

1

3

≤k＜1，函数f₁（x）=|f（x）-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f₂（x）=|f（x）-1|-

k

2k+1

的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），求x₁-x₂+x₃-x₄的最大值．

Answer 1

考点：指数函数综合题,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]若此函数在[0，2]上存在零点，则等价为m-f²（x）+4f（x）=1在[0，2]上成立，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，即可得到结论求实数m的取值范围；
（Ⅲ）根据零点存在条件，结合指数幂的运算法则，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-2）=

1

4

．
∴f（-2）=a^-2=

1

4

．
解得a=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2^x；
（Ⅱ）若g（x）=log₂[m-f²（x）+4f（x）]在[0，2]上存在零点，
即等价为m-f²（x）+4f（x）=1在[0，2]上成立，
则m=f²（x）-4f（x）+1=（2^x）²-4×2^x+1，
设t=f（x）=2^x；则1≤t≤4，
则y=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∵1≤t≤4，
∴-3≤t≤1，
即-3≤m≤1，则实数m的取值范围[-3，1]．
（Ⅲ）由f₁（x）=|f（x）-1|-k=0得|f（x）-1|=k，即f（x）=1-k，或f（x）=1+k，
则2x1=1-k，=2x2=1+k，
由f₂（x）=|f（x）-1|-

k

2k+1

=0得|f（x）-1|=

k

2k+1

，
即f（x）=1+

k

2k+1

或f（x）=1-

k

2k+1

，
则2x3=1-

k

2k+1

=

k+1

2k+1

或2x4=1+

k

2k+1

=

3k+1

2k+1

，
则2x2-x1=

1+k

1-k

，2x4-x3=

3k+1

k+1

，
即2x2-x1+x4-x3=

3k+1

1-k

=-3+

4

1-k

，
∵

1

3

≤k＜1，∴-3+

4

1-k

≥3，
则2x2-x1+x4-x3=

3k+1

1-k

=-3+

4

1-k

≥3，
即x₂-x₁+x₄-x₃≥log₂3，
则x₁-x₂+x₃-x₄=-（x₂-x₁+x₄-x₃）≤-log₂3，
故x₁-x₂+x₃-x₄的最大值是-log₂3，

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，考查函数零点的应用，综合性较强，难度较大．