Question

19．下列命题中，真命题的是（　　）

• A． 存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2
• B． 任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1
• C． 存在x∈R，x²+x=-1
• D． 任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx

Answer 1

分析 求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，sinx+cosx的范围，可判断A；根据f（x）=x²-3x+1，当x∈（3，+∞）时，f（x）＞f（3）=1恒成立，可判断B；根据方程x²+x=-1无实根，可判断C；根据三角函数的定义，可判断D．

解答 解：x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]，
2∈[1，$\sqrt{2}$]，
故A存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2为假命题；
令f（x）=x²-3x+1，则当x∈（3，+∞）时，f（x）为增函数，f（x）＞f（3）=1，
故B任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1，为真命题；
方程x²+x=-1无实根，
故C存在x∈R，x²+x=-1为假命题；
x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，tanx＜0，sinx＞0，
故D任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx为假命题；
故：B．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特征命题，函数的值域，三角函数的定义等知识点，难度中档．