题目内容

4．已知点（0，-$\sqrt{5}$）是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，椭圆的左右焦点分别为F1和F2．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得b=$\sqrt{5}$，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；
（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．

解答 解：（1）由题意设椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由已知得，b=$\sqrt{5}$．（2分）
则e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
解得a2=6（4分）
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（5分）
（2）令M（x1，y1），
则S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y1|=$\frac{1}{2}$•2•|y1|=|y1|（7分）
∵点M在椭圆上，∴-$\sqrt{5}$≤y1≤$\sqrt{5}$，
故|y1|的最大值为$\sqrt{5}$，（8分）
∴当y1=±$\sqrt{5}$时，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的最大值为$\sqrt{5}$．（9分）
（3）假设存在一点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，（10分）
∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2$\sqrt{6}$ ②（12分）
∴②2-①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=5，（13分）
即S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=5，由（1）得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$最大值为$\sqrt{5}$，故矛盾，
∴不存在一点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．（14分）

点评 本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．

练习册系列答案
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14．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲　82　81　79　78　95　88　93　84
乙   92　95　80　75　83　80　90　85
（1）用茎叶图表示这两组数据；若将频率视为概率，对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测，求甲的成绩高于80分的概率；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两中）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
15．为了得到函数y=sinx+cosx的图象，可以将函数y=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象（　　）
A．向左平行移动$\frac{π}{4}$个单位B．向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位
C．向左平行移动$\frac{π}{2}$个单位D．向右平行移动$\frac{π}{2}$个单位
12．已知4an+1-4an-9=0，则数列{an}是（　　）
A．公差为9的等差数列B．公差为$\frac{9}{4}$的等差数列
C．公差为4 的等差数列D．不是等差数列
19．下列命题中，真命题的是（　　）
A．存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2B．任意x∈（3，+∞），x2＞3x-1
C．存在x∈R，x2+x=-1D．任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx
9．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如表数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=8x+$\stackrel{∧}{b}$，则$\stackrel{∧}{b}$为（　　）
X24568
y2535605575
A．5B．15C．10D．20
16．设非空数集A={x|-3≤x≤a}，B={y|y=3x+10，x∈A}，C={z|z=5-x，x∈A}且B∩C=C，则实数a的取值范围是[-$\frac{2}{3}$，4]．
13．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≤1\\ x-y≥-1\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为D．若目标函数z=ax-y-2在区域D上的最大值为2，则实数a的值为（　　）
A．-2B．4C．-2或4D．-4或4
14．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C交点为A、B，试求|MA|•|MB|的值．

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