题目内容
10．某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如表：| 组 距 | 频 数 | 频 率 |
| [100，102） | 16 | 0.16 |
| [102，104） | 18 | 0.18 |
| [104，106） | 25 | 0.25 |
| [106，108） | a | b |
| [108，110） | 6 | 0.06 |
| [110，112） | 3 | 0.03 |
| 合计 | 100 | 1 |
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）若将这100株榕树苗高度分布的频率视为概率，从培育基地的榕树苗中随机选出4株，其中在[104，106）内的有X株，求X的分布列和期望．
分析 （1）由频率分布表，能求出a和b；
（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
解答 解：（1）由频率分布表，知：a=100-16-18-25-6-3=32，$b=\frac{32}{100}=0.32$；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度为
$\frac{101×16+103×18+105×25+107×32+109×6+111×3}{100}=105.06$（cm）；
（3）由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株，
因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4…
$P（x=0）=C_4^0{（\frac{3}{4}）^4}=\frac{81}{256}$，
$P（x=1）=C_4^1\frac{1}{4}{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$，
$P（x=2）=C_4^2{（\frac{1}{4}）^2}{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
$P（x=3）=C_4^3{（\frac{1}{4}）^3}{（\frac{3}{4}）^{\;}}=\frac{3}{64}$
$P（x=4）=C_4^4{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$．
分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{81}{256}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{128}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{1}{256}$ |
点评 本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
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