Question

13．（理科）已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：$1≤{T_n}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；
（2）利用数列的单调性与“裂项求和”即可证明．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，n∈N^*．
∴当n=1时，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+1）}{2}$ （a_n＞0），∴a₁=1．
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$．
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
（2）证明：b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．
当n=1时，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；
当n=2时，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；
当n≥3时，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
此时T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
∴T_n＜$\frac{7}{4}$．
又T_n≥T₁=1，
∴$1≤{T_n}＜\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的定义、数列的单调性与“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．