Question

2．若方程cos²x+sinx+a-1=0有实数根，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，2]．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系，可得a=sin²x-sinx，可令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=t²-t，由二次函数的值域求法，即可得到a的范围．

解答 解：方程cos²x+sinx+a-1=0，即为1-sin²x+sinx+a-1=0，即a=sin²x-sinx，
可令t=sinx（-1≤t≤1），即有y=t²-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数y取得最小值-$\frac{1}{4}$，
当t=-1时，函数y取得最大值，且为2．
可得函数y的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，2]．
即为a的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，2]．
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评 本题考查方程有实根的问题的解法，考查可化为二次函数的值域的解法，考查运算能力，属于中档题．