Question

13．数列{a_n}是等差数列，且a₁＞0，若a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＞0，a₁₀₀₈•a₁₀₀₉＜0同时成立，则使S_n＞0的n最大值是2016．

Answer 1

分析 由已知条件推导出a₁₀₀₈＞0，a₁₀₀₉＜0，再由等比数列的求和公式，由此能求出使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}，首项a₁＞0，a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＞0，a₁₀₀₈•a₁₀₀₉＜0，
∴a₁₀₀₈＞0，a₁₀₀₉＜0．
如若不然，a₁₀₀₈＜0＜a₁₀₀₉，则d＞0，
而a₁＞0，得a₁₀₀₈=a₁+1007d＞0，矛盾，故不可能．
由S_n=$\frac{1}{2}$n（a₁+a_n），
可得S₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$•2016（a₁+a₂₀₁₆）=1008（a₁₀₀₈+a₁₀₀₉）＞0，
∴使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n为2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查等差数列的前n项和为正数的n的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和求和公式的合理运用．