Question

18．设z=2x+y，式中x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\end{array}\right.$，则z的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值，再由点到直线的距离公式求得目标函数的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），
由图可知，当直线z=2x+y过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
由原点到直线2x+y-z=0的距离d=$\frac{|-z|}{\sqrt{5}}=1$，得z的最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；$\sqrt{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．