Question

4．已知数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}•{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$，且a₁=b₁=1．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=9b₂b₆，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）将所给条件变形，两边取导数，结合等差数列的通项公式即可得到所求通项；
（2）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，求得a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}•{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$，可得
$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$，
取倒数可得，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+2，
即有c_n+1=c_n+2，
则c_n=c₁+2（n-1）=1+2（n-1）=2n-1；
（2）设数列{b_n}的公比为q（q＞0），
由b₃²=9b₂b₆，可得q⁴=9q•q⁵，
解得q=$\frac{1}{3}$，即有b_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
则a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即有数列{a_n}的前n项和S_n=1•1+3•$\frac{1}{3}$+5•$\frac{1}{9}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{9}$+5•$\frac{1}{27}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$S_n=1+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1）-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ
=1+2•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
化简可得前n项和S_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用变形：取倒数，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．