Question

3．△ABC中，AB=3，AC=2BC，当△ABC面积取最大值时，C角的正弦值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由题意设AC=2BC=2x，由三边关系可得1＜x＜3，由余弦定理和同角三角函数基本关系可得可得sinC，进而可得S的表达式，由二次函数的最值可得．

解答 解：由题意设BC=x，则AC=2BC=2x，
由三角形三边关系可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2x＞3}\\{3+x＞2x}\end{array}\right.$，解得1＜x＜3，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{x}^{2}+4{x}^{2}-9}{2•x•2x}$=$\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{-（{x}^{4}-10{x}^{2}+9）}}{4{x}^{2}}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$•x•2x•$\frac{3\sqrt{-（{x}^{4}-10{x}^{2}+9）}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{-（{x}^{4}-10{x}^{2}+9）}$，
当x²=-$\frac{-10}{2×1}$即x=$\sqrt{5}$时，上式取最大值3，
此时sinC=$\frac{3\sqrt{-（{x}^{4}-10{x}^{2}+9）}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式以及二次函数的最值，属中档题．