Question

已知向量

m

=（cosx，-1），

n

=（

3

sinx，-

1

2

），设函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量运算和三角函数公式可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin（2x+

π

6

）+2，可得周期；（2）易得A=

π

6

，由余弦定理可得b值，可得面积．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=

m

2+

m

•

n

=cos²x+1+

3

sinxcosx+

1

2

=

1+cos2x

2

+1+

3

2

sin2x+

1

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2
=sin（2x+

π

6

）+2，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，
又f（A）恰是函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，A为锐角，可得A=

π

6

，
由余弦定理可得1²=b²+3-2b×

3

×

3

2

，解得b=1或b=2
当b=1时，三角形ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

，
当b=2时，三角形ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．