Question

判断函数f（x）=

x

x+1

的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答时，首先要结合定义域和所给区间任设两个变量并保证大小关系，然后通过作差法即可获得相应变量对应函数值的大小关系，结合函数单调性的定义即可获得问题的解答．

解答： 证明：任取x₁，x₂∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
当x₁，x₂∈（-∞，-1）时，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）=

x

x+1

为增函数；
当x₁，x₂∈（-1，+∞）时，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）=

x

x+1

为增函数；
综上所述，函数f（x）=

x

x+1

在∈（-∞，-1）和（-1，+∞）为增函数；

点评：本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及分解因式等知识．值得同学们体会和反思．