Question

函数f（x）=-x²+4tx-1在区间[t，t+1]上的最大值为g（t）
（1）求g（t）的解析式；
（2）求g（t）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：因为对称轴固定，区间不固定，须分轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间三种情况讨论，找出g（t）的表达式，再求其最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x²+4tx-1，
∴x=2t为对称轴，
①当t≥1时，
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递增，
∴最大值为g（t）=f（t+1）=-（t+1）²+4t（t+1）-1=3t²+2t-2，t≥1，
②当0≤t＜1时，∵2t∈[t，t+1]，
最大值为g（t）=f（2t）=-（2t）²+4t（2t）-1=4t²-1，0≤t＜1，
③当t＜0时，∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
∴最大值为g（t）=f（t）=-t²+4t²-1=3t²-1，t＜0，
综上：g（t）=

3t2+2t-2，t≥1 4t2-1，0≤t≤1 3t2-1，t＜0

（2）g（t）=

3t2+2t-2，t≥1 4t2-1，0≤t≤1 3t2-1，t＜0

根据解析式可得g（t）的单调性得出：
∵当t≥1时，3t²+2t-2≥3，
当0≤t＜1时，-1≤4t²-1＜3，
当t＜0时，3t²-1＞-1，
∴g（t）的值域为[-1，+∞），
∴g（t）的最小值为-1，无最大值．

点评：本题的实质是求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结果．